תפריט חיפוש

אינדוקציה

ד"ר אברהם בן עזרא

ההבדל בין אינדוקציה ביולוגית לבין אינדוקציה מתמטית - כולל המחשה באמצעות תרגיל העלול להטעות.

אינדוקציה היא שיטה במדעי הטבע ובמתמטיקה להסקת מסקנות ולהוכחת הוכחות.

דוגמא מתחום מדעי הטבע: השמש זרחה אתמול, השמש זרחה שלשום, וכך הלאה בספירה לאחור, ולכן - השמש תזרח גם מחר.

בתחום המתמטיקה לא די במישור הניסיוני ויש להוסיף תנאי להשלמת ההוכחה.

התנאי יובהר ע"י דוגמא מיוחדת.

לשם כך נבחן את הדוגמא מתוך ספרו של רבי לוי בן גרשון (הרלב"ג - 1288-1340), פרשן ומדען ספרדי, מחבר הספר "ספר מעשה חושב"[*]. הרלב"ג הוכיח בספרו הנ"ל את הנוסחה, הנכונה עבור כל n טבעי:

12 + 22 + 32 + …    …n2 = [n - (n - 1) :3] * [1 + 2 + 3 + …   …+n]

הוא לא השתמש באותיות לטיניות, ואף לא בשפת המתמטיקה הידועה כיום, וזו לשונו:

אם רצית לחבר מרובעי מספרים נמשכים, מן האחד עד מספר מונח, קח המספר המונח פחות שלישית המספר הנמשך לפניו, וערכהו על נקבץ הנמשכים עד המספר המונח.

הדוגמא הנ"ל ניתנת להוכחה, גם בדרך האינדוקציה המתמטית.

פירוש:

מספר - הוא מספר טבעי [חיובי ושלם].

מרובעי מספרים - ריבועי המספרים.

מספר נמשך - מספר עוקב.

מספר מונח - מספר רצוני כלשהו - בענייננו: n.

הנמשך לפניו - n-1.

וערכהו - הכפל אותו.

נקבץ הנמשכים - סכום המספרים העוקבים.

[בהמשך - מובאת שם ההוכחה].

- * -

במתמטיקה, הוכחה בדרך האינדוקציה לא מסתכמת בשלב הראשון, ונחוצה בדיקה נוספת כתנאי; הוכחה, כי אם נניח נכונות המשוואה לגבי n=k, נקבל כי המשוואה נכונה גם עבור n=k+1.

- * -

להלן דוגמא לבניית משוואה, שבבחינת השלב הראשון - המספק הוכחה על פי אינדוקציה ביולוגית - התוצאה תהיה, כי התנאי לנכונות הטענה התקבל, אך בבחינת השלב השני - יסתבר כי הטענה אינה נכונה...

הטענה:

נתונה המשוואה להלן:

 (X - 1) (X - 2) (X - 3) = 0

לאחר פתיחת הסוגריים מתקבל:

X3 - 6X2 + 11X - 6 = 0

נטען כי המשוואה נכונה לגבי כל X טבעי.

בבדיקת שלב א', כמובן שאם נציב X=1 המשוואה תהיה נכונה, וכך גם אם נציב X=2 ו- X=3 כי הרי אלו (1, 2, 3) - הם שורשי המשוואה.

לא נוכל להוכיח נכונות שלב ב', כי הוא אינו נכון, והמשוואה לא נכונה בהצבת X=4 או כל ערך אחר של x זולת 1, 2, 3.

אפשר להכין משוואה שתהיה נכונה לגבי n מספרים טבעיים אשר תיראה כך טרם פתיחת הסוגריים:

 (X - 1) (X - 2) (X - 3) …   …(X - n) = 0

משוואה זו תהיה נכונה [ותתאפס] עבור מספרים טבעיים מ- 1 ועד n, אך לא תהיה נכונה לגבי כל מספר אחר - למשל - n+1.

*] ראה "עיונים בחכמת הרלב"ג" מאת ד"ר אברהם בן עזרא, הוצאת קורטוב 2006, עמ' 15-16.