תפריט חיפוש

פלאי מספרים טבעיים

3 מרץ, 2022 |
ד"ר אברהם בן עזרא

מספר טבעי הוא מספר חיובי ושלם, ובמספרים אלה נעסוק במסגרת מאמר זה.

מכפיל ראשון - 1.

מכפיל שני - 4.

הגדלנו את המכפיל הראשון ב-1 וקיבלנו 2;

הקטנו את המכפיל השני ב-2 והתקבל 2.

לאמור, מגדילים מכפיל ראשון ב-1, ואת השני מקטינים ב-2 - והמכפלה לאחר השינויים נותרת  כשהייתה.

אפשר לבנות המשך למכפלות אלו, כדלקמן:

4 = 2 * 2 = 4 * 1

12 = 4 * 3 = 6 * 2

24 = 6 * 4 = 8 * 3

40 = 8 * 5 = 10 * 4

60 = 10 * 6 = 12 * 5

84 = 12 * 7 = 14 * 6

112 = 14 * 8 = 16 * 7

144 = 16 * 9 = 18 * 8

180 = 18 * 10 = 20 * 9

220 = 20 * 11 = 22 * 10

264 = 22 * 12 = 24 * 11

312 = 24 * 13 = 26 * 12

ואפשר, כמובן, להמשיך.

המפתיע הוא, כי כאשר מכפיל אחד הוא 1 ומכפיל שני הוא 4, אם נגדיל את המכפיל הראשון ב-1 ואת השני נקטין ב-2 - יישאר שוויון.

המפתיע הוא, שמדובר בכלל חשבוני, המתקיים גם בהוספת 1 למכפיל הראשון ו-2 למכפיל השני - ראה שורת ההכפלות לעיל.

מה שנותר הוא להוכיח קיומו של כלל זה.

x יהיה מספר טבעי.

המכפיל הראשון - x.

המכפיל השני - 2 + 2x.

צריך להוכיח:

[2 - (2 + 2x)] (x + 1) = (2x + 2) * x

ההוכחה:

בפתיחת סוגרים באגף הימני, מתקבל:

2x2 + 2x = (x + 1) 2x

בפתיחת סוגריים נוספת מתקבל;

2x2 + 2x = 2x2 + 2x

מה שרצינו להוכיח.

טוען סינון...ajaxSpinner