פלאי מספרים טבעיים
מספר טבעי הוא מספר חיובי ושלם, ובמספרים אלה נעסוק במסגרת מאמר זה.
מכפיל ראשון - 1.
מכפיל שני - 4.
הגדלנו את המכפיל הראשון ב-1 וקיבלנו 2;
הקטנו את המכפיל השני ב-2 והתקבל 2.
לאמור, מגדילים מכפיל ראשון ב-1, ואת השני מקטינים ב-2 - והמכפלה לאחר השינויים נותרת כשהייתה.
אפשר לבנות המשך למכפלות אלו, כדלקמן:
4 = 2 * 2 = 4 * 1
12 = 4 * 3 = 6 * 2
24 = 6 * 4 = 8 * 3
40 = 8 * 5 = 10 * 4
60 = 10 * 6 = 12 * 5
84 = 12 * 7 = 14 * 6
112 = 14 * 8 = 16 * 7
144 = 16 * 9 = 18 * 8
180 = 18 * 10 = 20 * 9
220 = 20 * 11 = 22 * 10
264 = 22 * 12 = 24 * 11
312 = 24 * 13 = 26 * 12
ואפשר, כמובן, להמשיך.
המפתיע הוא, כי כאשר מכפיל אחד הוא 1 ומכפיל שני הוא 4, אם נגדיל את המכפיל הראשון ב-1 ואת השני נקטין ב-2 - יישאר שוויון.
המפתיע הוא, שמדובר בכלל חשבוני, המתקיים גם בהוספת 1 למכפיל הראשון ו-2 למכפיל השני - ראה שורת ההכפלות לעיל.
מה שנותר הוא להוכיח קיומו של כלל זה.
x יהיה מספר טבעי.
המכפיל הראשון - x.
המכפיל השני - 2 + 2x.
צריך להוכיח:
[2 - (2 + 2x)] (x + 1) = (2x + 2) * x
ההוכחה:
בפתיחת סוגרים באגף הימני, מתקבל:
2x2 + 2x = (x + 1) 2x
בפתיחת סוגריים נוספת מתקבל;
2x2 + 2x = 2x2 + 2x
מה שרצינו להוכיח.
