הצעה לעליית מדרגה בתקינה
ההסתמכות על הוראות התקנים, במקומות שונים ובנושאים שונים בהם יש דרישת ממוצע, כתחליף לחישוב התכונה הנדרשת - לא מבטיחה כי מדגם גרוע לא יאושר ומדגם טוב לא יידחה, אך חישוב ישיר כפי שמוצע – מנטרל שגיאה זו.
1. מבוא
בתקינה הישראלית, כמו גם בתקנים במערב, יש דרישות טיב מדידות (ניתנות למדידה) בתחומים שונים של ההנדסה והאדריכלות.
לדוגמא, בתקן הישראלי 1555.1 [מערכת פסיפס וקרמיקה לריצוף ולחיפוי בבניינים: חיפוי חוץ] משנת 2008 נקבע בטבלה 4 כי לגבי אריחי קיר ששטחם בין 0.04 מ"ר לבין 0.11 מ"ר, יהיה חוזק ההידבקות הממוצע בבדיקה מדגמים לכל הפחות 0.5 מגה פסקל וחוזק בדיקה בודדת לא יפחת מ- 0.3 מגפ"ס, והיה והמדגם הנבדק עונה על דרישות אלה – החיפוי ייחשב לתקין מהבחינה הנבדקת, ואם לא – הרי הוא פסול.
2. הצגת הבעיה
במסגרת זו, מובאת הצעה לעליית מדרגה בבחינת המדגם באופן הנ"ל [בו הדרישה היא לממוצע מסוים], שהיא בחינה שכיחה בתקנים ומצויה לא רק בבדיקת חוזק ההידבקות אלא גם במאות ואלפי בדיקות אחרות.
סיבת העלאת ההצעה היא אינה רק יתר דיוק, אלא – בעיקר – הימנעות משגיאות, לרבות שגיאות קריטיות, בהן יוכשר המוצר הפגום ויאושר כתקין, ואילו המוצר התקין עלול להיפסל.
לשם כך לא ניזקק ללימודי סטטיסטיקה מתקדמים, אלא יהא די בסטטיסטיקה שימושית למהנדסים כדוגמת החישוב שהובא במאמרי "קביעת חוזקו של הבטון" אשר פורסם בביטאון "הנדסה ואדריכלות" של אגודת האינג'ינרים והארכיטקטים בישראל, גיליון 5/82 שראה אור באוגוסט 1982 (1).
הטבלה הסטטיסטית שלהלן מושתתת על "פילוג פעמון" ומותאמת במיוחד למדגמים קטנים.
מדובר בפילוג המכונה "פילוג t" לפי Statistical Tables"" (2).
3. הצגת השיטה
יהיה גודל המדגם n [דרגת החופש היא n-1].
יהיו תוצאות המדגם X1,X2,X3 וכן הלאה עד Xn.
יסומן הממוצע Xm כך:
Xm=(X1+X2+X3+…+Xn)
במקרה של n=3 יהיה הערך הממוצע של המדגם;
Xm=(X1+X2+X3):3
ממוצע מדגם הוא פרט אשר מלמד על הכלל;
ישנה הסתברות של 50% שבדיקה אקראית אשר לא נכללה במדגם תהיה גדולה מממוצע המדגם, וכן ישנה הסתברות של 50% שבדיקה אקראית שלא נכללה במדגם תהיה עם תוצאה קטנה מממוצע המדגם.
השאלה הבאה המעניינת את המהנדס היא, מהו הערך Xp אשר לגביו ההסתברות לקבלת ערכים טובים ממנו בבדיקה אקראית מחוץ למדגם תהיה p, וההסתברות לקבלת ערכים גרועים ממנו בבדיקה אקראית מחוץ למדגם תהיה 1-p?
לשם קבלת תשובה לשאלה זו, אפשר להיעזר בפילוג t כדלקמן:
טבלת הפילוג t
בטבלה נתונים ערכי f, כפונקציה של tp ו- n, כאשר n- מספר הדגימות; n-1 מבטא את דרגות החופש.
|
t0.6 |
t0.7 |
t0.8 |
t0.9 |
t0.95 |
t0.99 |
t0.995 |
n-1 |
|
0.325 |
0.727 |
1.376 |
3.08 |
6.31 |
31.82 |
63.66 |
1 |
|
0.289 |
0.617 |
1.061 |
1.89 |
2.92 |
6.96 |
9.92 |
2 |
|
0.277 |
0.584 |
0.978 |
1.64 |
2.35 |
4.54 |
5.84 |
3 |
|
0.271 |
0.569 |
0.941 |
1.53 |
2.13 |
3.75 |
4.60 |
4 |
|
0.267 |
0.559 |
0.920 |
1.48 |
2.02 |
3.36 |
4.03 |
5 |
|
0.265 |
0.553 |
0.906 |
1.44 |
1.94 |
3.14 |
3.71 |
6 |
|
0.263 |
0.549 |
0.896 |
1.42 |
1.90 |
3.00 |
3.50 |
7 |
|
0.260 |
0.542 |
0.879 |
1.37 |
1.81 |
2.23 |
3.17 |
10 |
|
0.257 |
0.553 |
0.860 |
1.32 |
1.72 |
2.09 |
2.84 |
20 |
|
0.256 |
0.530 |
0.854 |
1.31 |
1.70 |
2.04 |
2.75 |
30 |
|
0.253 |
0.524 |
0.842 |
1.28 |
1.645 |
1.96 |
2.58 |
אין-סוף |
נסמן את הסטיה המדגמית S (ערך מקביל לסטיית התקן).
הנוסחה לחישוב הסטיה המדגמית:
S2=[1:(n-1)]*[(x1–xm)2+(x2–xm)2+...+(xn-xm)2]
ולמקרה של n=3:
S2=[1:(3-1)]*[(x1–xm)2+(x2–xm)2+(x3–xm)2]
כאשר p>0.5 יתקבל בטבלה ערך סטטיסטי כפונקציה של גודל המדגם וכפונקציה של p.
הערך שבטבלה הוא מקדם [פקטור] וסימונו – f, ילך ויגדל ככל שיגדל הערך p, וילך ויקטן ככל שיגדל הערך n.
ההפרש בין Xp לבין Xmיסומן a ויחושב כדלקמן:
a=Xp–Xm=f*S
4. דוגמאות חישוב
4.1 דוגמא לחישוב חוזק הבטון ללחיצה, בדרישה כי בבדיקת החוזק של פרט מחוץ למדגם, תהיה הסתברות של 95% שהבטון יתאים לדרישות.
נתונים של תוצאות מדגם בו n=4:
X1=242kg/cm2
X2=235kg/cm2
X3=235kg/cm2
X4=240kg/cm2
חישוב הממוצע:
Xm=[242+235+235+240]:4=238kg/cm2
חישוב סטיית המדגם:
S2=[1:(4-1)]*[(242–238)2+(235–238)2+(235–238)2+(240–238)2]=3.56kg/cm2
מתוך טבלת פילוג t מתקבל עבור n-1=3, ו- p=0.95 הערך של fוהוא:
f=2.35
מכאן הערך של a הוא:
a=f*S=2.35*3.56=8kg/cm2
והחוזק של הבטון על פי ניתוח תוצאות המדגם יהיה:
XR=XM–a=238–8=230kg/cm2
4.2 דוגמא להמחשת ההשפעה של סטיית המדגם, שהיא גדולה יותר מההשפעה של הממוצע.
לשם החישוב נבחר מדגם בן n=4, עם ממוצע גבוה יותר מהדוגמא שבסעיף 4.1, אך עם פיזור גדול יותר – כלומר - סטית מדגם גדולה יותר;
X1=240kg/cm2
X2=230kg/cm2
X3=260kg/cm2
X4=300kg/cm2
Xm=(240+230+260+300):4=257.5
S2=(1:3)*17.52+27.52+2.52+42.52]=(1:3)*(306.25+756.25+6.25+1806.25)
S2=958.3
S=30.95
לגבי אותו ערך של r מתקבל f=2.35
לפיכך –
a=f*S=2.35*30.95=72.7kg/cm2
Xp=Xm-a=257.5–72.7=184.8 kg/cm2
עינינו הרואות כי למרות שבמדגם השני הממוצע עלה, המדגם הצביע על חוזק בטון קטן יותר מאשר במדגם הראשון, וזאת כאמור עקב הפיזור הרב.
החישובים לעיל מוכיחים כי ההסתמכות על הוראות התקנים, במקומות שונים ובנושאים שונים בהם יש דרישת ממוצע כתחליף לחישוב התכונה הנדרשת - לא מבטיחה כי מדגם גרוע לא יאושר ומדגם טוב לא יידחה, אך חישוב ישיר כפי שמוצע – מנטרל שגיאה זו.
מראה מקום
1. קביעת חוזקו של הבטון, מאת אברהם בן עזרא, בטאון אגודת האינג'ינרים והארכיטקטים בישראל 5/82, אוגוסט 1982
2. Statisical Tables for Biological, Agricultural and Medical Research (5th ed.) – R.A. Fisher and F. Yates; Table III, Oliver and Boyd Ltd.
